Probabilidad




El espíritu humano siente repugnancia a aceptarse de las manos del azar, a no ser más que el producto pasajero de posibilidades que no están presididas por un ningún dios, y sobre todo por él mismo. Una parte de cada vida  y aun de cada vida insignificante, transcurre en buscar las razones de ser, los puntos de partida, las fuentes. Mi impotencia para descubrirlos  me llevó a veces a las explicaciones mágicas, a buscar en los delirios de lo oculto lo que el sentido común no alcanzaba a darme. Cuando los cálculos complicados resultan falsos, cuando los mismos filósofos no tienen ya nada que decirnos, es excusable volverse hacia el parloteo fortuito de las aves, o hacia el lajano parloteo de los astros.

 

YOURCENAR, Marguerite  Memorias de Adriano

 


 Para buscar seguridad en un futuro incierto el hombre ha recurrido a métodos diversos. En la antigüedad fueron los oráculos, después todo tipo de vates, adivinos, charlatanes. Pero para el conocimiento racional que no se deja embaucar por fáciles profecías el camino es más difícil pero más seguro.

La teoría matemática de la probabilidad también hace conjeturas sobre el futuro pero sus fines son mucho más modestos, Ante una causas con posibles efectos se limita a calcular la probabilidad de los distintos resultados y encontrar el más probable.

 

 

Laplace considera los problemas de probabilidad como los más importantes de la vida. Las probabilidades favorables acaba siempre por prevalecer, comportarse según estas aportará ventajas, apartarse graves inconvenientes. Y, sin embargo, para Laplace la probabilidad es únicamente la medida de nuestra ignorancia. Para él, el mundo es un mecanismo extremadamente complejo pero talmente preciso, donde si supiéramos la reglas que determinan su funcionamiento y las condiciones iniciales el futuro no tendría ningún secreto para nosotros.

Un experimento es determinista cuando el resultado se puede predecir a partir de las condiciones iniciales antes de realizar el experimento. Un experimento es aleatorio cuando al repetirlo en condicione idénticas no se puede predecir su resultado. La física se ocupa de los primeros y la teoría de las probabilidades de los segundos. Al menos, así fue hasta la primera mitad del siglo XX, donde  la  física para  estudiar las leyes que determinan el funcionamiento del universo tuvo que recurrir a las probabilidades y abandonar el rígido determinismo que hasta ese momento la había caracterizado.


 

 

Los primeros problemas de probabilidad que se consideraron fueron los referentes a juegos de azar. Galileo demostró por qué es más probable sacar un diez al lanzar tres dados que un 9. Pascal y Fermat aplicaron la probabilidad  a otras cuestiones también sobre juegos. Pascal creía haber demostrado la necesidad de creer en Dios por probabilidades, poco después Laplace evidenció la falsedad de este razonamiento conocido como apuesta de Pascal.

 

La probabilidad de estar vivo en día previamente determinado, por ejemplo dentro de 20 años a partir de la fecha actual, aumenta con cada momento que pasa, de día en día hasta llegar al día fijado que la probabilidad será igual a 1. Si no fijamos la fecha la probabilidad de vivir 20 años más disminuye de forma constante, con cada hora, con cada estornudo hasta llegar a cero.

Cuando lanzamos una moneda equilibrada la probabilidad de salir cruz es la misma que cara igual a 0,5. Si lanzamos un dado corriente la probabilidad de sacar un 6 sera la misma para todas las caras igual a 1/6. Pero ¿qué ocurre si el dado esta cargado o no es una moneda corriente?. Si introducimos una bolita de plomo en la cara opuesta al 6, el 6 saldrá más veces que el resto de caras.  En ausencia de probabilidades iguales solo podemos afirmar que determinadas combinaciones son más probables que otras. Podemos asignar probabilidades a un determinado resultado si el experimento que lo ha proporcionado se puede repetir un número indefinido de veces. La probabilidad coincide con la frecuencia relativa del resultado.

   Si lanzamos un dado cargado n veces, la probabilidad de sacar un 6 será:

 



Experimentos aleatorios

 

Un experimento es aleatorio cuando al repetirlo en condiciones idénticas no se puede predecir su resultado.

Un experimento es determinista cuando el resultado se puede predecir a partir de las condiciones iniciales antes de realizar el experimento.

Cuando se dispara una bala de cañón se sabe en función de la inclinación, velocidad del viento y otros factores iniciales el punto donde impactará, altura máxima que alcanzará la bala y tiempo que transcurrirá entre el disparo y el impacto.

 

Por el contrario no podemos saber el tiempo que hará el fin de semana antes de llegue este.

Consideremos los siguientes experimentos:

Experimentos deterministas

Calentar agua hasta que hierva y anotar la temperatura de ebullición.

Posición del planeta Marte en función del tiempo.

Experimentos aleatorios

I Lanzar una moneda y ver la posición

II  Lanzar un dado y anotar la puntuación.

III Número de caras obtenidas al lanzar diez monedas.

IV   Extraer una bola de una urna con diez bolas dos de las cuales son rojas, tres verdes y cinco azules.

V   Lanzar tres dados y anotar la suma.

VI   Número de tiradas de un dado hasta sacar un cinco.

 VI   Lanzar cinco chinchetas y ver las que caen con la punta hacia arriba

VII Tiempo de espera en un parada de autobús.

VIII Observar la distancia al centro de una flecha disparada sobre una diana.  

IX Longitud de una planta al mes de plantar la simiente.

X  Sacar una carta de una baraja española y anotar el resultado.

XI Sacar un naipe de la baraja y anotar el palo.



Sucesos

A los distintos resultados de un experimento aleatorio le llamamos sucesos.

Experimento:




I Lanzar una moneda

Sucesos: Salir cara {c}  Salir cruz {+}

 II Lanzar un dado.

Serán sucesos


Obtener un cinco.

No sacar un cuatro.
Salir un número par.
Salir un número mayor igual que cinco.

Los representamos:

Obtener un cinco.   E= {5}

No sacar un cuatro.    E={1 , 2 , 3, 5 , 6}

Salir un número par.  {2, 4 , 6}

Salir un número mayor igual que cinco. {5 , 6} Experimento:

X  Extraer una naipe de una baraja  Serán resultados: Sacar un as   E ={As de oros, A. copas, AE, AB}             Salir la sota de oros  
E={SO}

Salir una figura   

{RO, RC, RE, RB,  CO, CC, CE, CB, SO, SC, SE, SB}

Espacio muestral



Espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los sucesos elementales.

Vamos a usar el símbolo SX para designar el espacio muestral del experimento X

a)

X= Lanzar un dado sobre la mesa y anotar el resultado                           SX ={1, 2, 3, 4 , 5 , 6}

b)

            X=  Extraemos una naipe de una baraja española y anotamos el palo:  

SX ={Oros, Copas, Espadas, Bastos}

c)

     X= Extraer una bola de la urna del experimento IV y anotamos el color.

SX={Roja, Verde Azul}

Ahora, al estar las bolas numeradas de forma que las dos primera son rojas, verde las tres siguientes y azules las cinco restantes el espacio muestral también podría ser

SX={1R, 2R, 3V, 4V, 5V, 6A, 7A, 8A, 9A, 10A}

d) Para el experimento VII

X= Tiempo de espera en la parada de un autobús SX ={t : 0 < t <m}

  Siendo m el valor máximo en minutos que estamos esperando.

 

 

Espacios discretos y continuos

 

Un espacio muestral es discreto si el conjunto de casos posibles es numerable y continuo cuando no.

De los experimentos anteriores el VII, VIII y IX son continuos los otros discretos.

Experimento compuesto

Muchas veces un experimento se puede dividir en experimentos independientes más sencillos. El espacio muestral será el producto cartesiano de los espacios muestrales de los  experimentos simples.

Ejemplos

Experimento

Lanzamos un dado y una moneda.  

X= Lanzar una moneda

 SX={c, +}

 

Y= Lanzar un dado

                Sy={1, 2 , 3 , 4 , 5 ,6}

 

 

El espacio muestral del experimento compuesto será el producto cartesiano de los dos.

S={c1, c2 ,c3 ,c4, c5, c6, +1, +2, +3, +4, +5, +6}


 


Un suceso lo podemos definir como cualquier subconjunto del espacio muestral.

Sucesos especiales

Suceso seguro

Siempre se cumple

Sacar un numero menor que 10 al lanzar un dado.

Suceso imposible

Nunca se cumple

Sacar un número mayor que 10 al lanzar un dado.

Lo representaremos por   ø

Suceso contrario

 Consideremos de nuevo el experimento II lanzamos un dado y anotamos el resultado. Suceso E salir un número par y suceso F salir un número impar

  E={1, 2, 3}    F={2, 4, 6}  Si ocurre uno no ocurre el otro y tiene que ocurrir siempre uno de los dos.

Sucesos incompatibles.

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir los dos a la vez . En el caso anterior salir un numero menor o igual que dos y salir un número mayor que cuatro son incompatibles.


 

Los sucesos los podemos representar por medio de diagramas de Venn. En general utilizaremos u rectángulo para representar el espacio muestral  y círculos o elipses para los subconjuntos del mismos que representan los distintos sucesos.



Combinaciones de sucesos:



Volvamos al experimento II

E= salir un numero impar F= Salir un número primo  

E={1, 3, 5}   F={2, 3, 5}



Unión de sucesos


Suceso unión.  Ocurre cuando ocurre uno de los dos.





                      
 


Intersección


Suceso intersección. Ocurre cuando se realizan los dos sucesos.

              




   

Sucesos incompatibles



Si dos suceso A y B son incompatibles entonces:

 
 



Suceso contrario


 
 

 

Propiedades:








 
 
 


Representación de sucesos

Los sucesos los podemos representar por medio de diagramas de Venn

Lanzamiento de un dado

 
E={1, 3, 5}
 
 

F={2, 3 , 5}

 
 
 
 

 

 

Inclusión de sucesos

Un suceso A está incluido B si siempre que se cumple A se cumple B

Lo representamos: A ⊂ BS= {0, 1, 2, 3}
Sistema completo de sucesos

Consideremos en el experimento III Lanzar 10 monedas y anotar el número de caras, los siguientes suceso.

A={0, 1, 2, 3, 4}   B={5,  7}      C={6}      D={8, 9 , 10}

Forman un sistema completo de sucesos porque son incompatibles dos a dos y la unión de todos ellos es igual al espacio muestral






Ejercicios:



Hallad el espacio muestral

Experimento III Lanzar diez monedas y anotar el número de caras.

S= {0, 1, 2  · · ·       10}

Podríamos considerarlo como un experimento compuesto de 10 más simples como sería lanzar una moneda.  

Veamos un caso más simple. Lanzar 3 monedas y anotar el número de caras

S= {0, 1, 2, 3}

Como experimento compuesto:

 


 
Planteado de esta forma el Espacio Muestral tiene bastantes más elementos

S= {CCC, CC+, C+C, C++,  +CC,  +C+, ++C, +++}

Depende de lo que queramos calcular utilizaremos una de las dos formas. Para el lanzamiento de las diez monedas, si lo consideramos como un experimento compuesto  de 10 más simples, el espacio muestral tendría 210  = 1024     elementos





Medida de probabilidades



Consideremos una vez más el experimento II

Lanzamos un dado

Espacio muestral  S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

 

 Los sucesos:


E1 Salir un cinco= {5}

E2 Nº primo ={2, 3, 5}
E3 Salir un número mayor de 6=  ø
E4 Salir un número menor de diez = S

El suceso imposible tiene la probabilidad cero, el seguro uno y todos los demás tienen unas probabilidades comprendidas entre 0 y 1


 P(E3)=P( ø)=0      P(E4) =P(S)=1


Para los demás sucesos el proceso de asignar probabilidades es un proceso intuitivo, consideremos los casos de dados y monedas no corrientes o con algún tipo de imperfección. La teoría de probabilidad no nos da unas reglas infalibles  de asignar la probabilidad de un suceso, nos da solamente unas reglas que se tienen que cumplir.



1ª La proba

1ª La probabilidad de cualquier suceso es positiva o cero.

2ª La probabilidad del suceso seguro es 1


3ª La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es la suma de las probabilidades.




Consecuencias

:

 
 





Probabilidad de la unión de sucesos:

 

Cuando representamos dos sucesos compatibles, dividen el espacio muestran el cuatro zonas, que representan otros tantos sucesos:


 




 

 

Por tanto:

 



 

Método clásico de asignar probabilidades.



Regla de Laplace




Cuando todos los elementos del espacio muestral tienen la misma probabilidad como al lanzar un dado o una moneda equilibrada podemos aplicar la definición de probabilidad enunciada por laplace.


La probabilidad de cualquier suceso cuando todos los caso son igualmente probable es el número de casos favorables partido por el número de casos posible.


Dado

S={1, 2, 3 ,4 , 5, 6}    P(S)=1       P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=1


P(1)=P(2)= ·····P(6)= 1/6


A Salir un número mayor que cuatro = {5, 6}


         

Donde N(A) es el número de lamentos de A y N(S) número de elementos de S.



Ley de la probabilidad a posteriori, de Bernoulli o ley de los grandes números.



Frecuencia relativa.

Supongamos que lanzamos una chincheta y queremos hallar la probabilidad de que la punta quede hacia arriba.


  

                                                               

Posición A  Posición B

 

S={A, B}

Realizamos el experimento 100 veces de las cuales 70 queda la punta arriba y 30 abajo.

Las frecuencias relativas de A y B so 0,7 y 0,3 respectivamente.

La ley de Bernoulli nos dice que si el experimento lo realizamos indefinidamente la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en un límite y este sería la probabilidad del suceso.


 

Para una serie de numerosas pruebas, un determinado suceso se repetirá con una determinada frecuencia:

 



 

Cuando el número de pruebas crece indefinidamente la frecuencia se aproximará a la probabilidad:

 

 



 

Si realizamos cierto número de ensayos para estudiar los resultados favorables a dos sucesos A y B, en cada prueba los resultados podrán ser:

 

Se produce el suceso A y el B no.

Se produce A y B

No se produce A y se produce B

No se produce A y tampoco B

El número total de casos sera:

 

 


Siendo los resultados favorables:

 







Podemos definir las frecuencias relativas siguientes:
 


 


Llamamos f(A|B) frecuencia relativa de A habiéndose realizado B, reducimos el espacio muestral a los

casos en que se ha realizado B:

 



 

Cuando el número de ensayos llega a ser muy grande las frecuencias relativas coinciden con las probabilidades y podemos ver:

 



 
 
Ejemplos:



Lanzamos un dado. Suceso A obtener un número divisible por 2, suceso B obtener un número divisible por 3.

 

Extraemos al azar dos bolas de una urna que contiene: dos bolas negras, 4 azules y 3 rojas.

Hallad la probabilidad de que las dos sean rojas para:

a) Se extrae una bola, se anota su color, se devuelve a la urna y se saca la segunda.

b) Se extraen las dos a la vez.

 


Problema de Galileo.

Cuando lanzamos tres dados, ¿qué es más probable que la suma de los puntos sea 9 0 10?

S={3, 4, 5, ····    17, 18}

En este espacio muestral los sucesos no son equiprobales, para hallar la probabilidad necesitamos consideran un espacio muestran equivalente de sucesos con la misma probabilidad.

Galileo número los dados y consideró el experimento producto.

Elementos del espacio muestra 6³ =216

E9 La suma de puntos sea 9

E10 La suma sea 10

De todos esto calculo el número de elementos que sumaban 9

1+2+6  6
1+3+5  6 
1+4+4  3
2+2+5  3
2+3+4  6
3+3+3  1

Total 25

Suma10

1+3+6 6
1+4+5 6
2+2+6 3
2+3+5 6
2+4+4 3
3+3+4 3

Numero total de casos 27

P(Suma=9) =  25/236     P(Suma=10) = 27/236




Probabilidad condicional

Consideramos los siguientes sucesos:

Condicional



1    Queremos hallar la probabilidad de sacar dos ases ( sin remplazamiento) de una baraja, repetimos el experimento un número n lo suficientemente grande. Sea n1 número de veces que sale as la primera (A) y n2 las veces que sale un as en las dos cartas  . Es evidente n2 esta contenido en la primera.

 

A Salir un as en la primera.

B Salir un as en la segunda

 

Las frecuencias relativas serán:

 

Cuando :  P(B|A) = P(B)  Los sucesos so independientes y dependientes en caso contrario.

En el caso de la baraja los suceso son dependientes, pero si antes de sacar la segunda carta hubiéramos devuelto al mazo la primera y barajado serían sucesos independientes.


 



 

 

2    Se lanzan dos dados y la suma es 6 ¿Cuál es la probabilidad de que haya algún dos.

P(Algún 2 | Suma es 6) 

Sucesos:

 

 A →   Algún 2 ={(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}

B →   Suma sea 6 ={(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),}    (A ∩B)={(2, 4), (4, 2)}




 


3   De una clase de 20 alumnos 12 aprueban geometría y 14 física y 10 alumnos aprueban las dos asignaturas.

Si elegimos un alumno al azar y aprueba geometría ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también física.?

Si no aprueba geometría ¿Cuál es la probabilidad de aprobar física? ¿Y de suspenderla?

¿Es independiente aprobar física de aprobar geometría?






4   Según un estudio de una determinada población el 80 % lee menos de dos libros al año, el 60 % vota al partido progresista y el 40% al conservador. El 25% de los que leen dos o más libros al año votan al partido progresista.

Calcula

Elegida una persona al azar que dice votar al partido progresista ¿Probabilidad de que lea dos o más libros al año?

Elegida una persona al azar y no lee libros ¿Probabilidad de que vote al partido progresista?

Si la persona elegida lee dos o más libros cual es la probabilidad de que vote al partido conservador.


 

5   Según un estudio la probabilidad de tener un accidente estando sobrio es del 1 % y estando ebrio del 10 %. La probabilidad de conducir ebrio es del 0,3 %.  Se ha producido un accidente ¿Cuál es la probabilidad de que el conductor estuviera ebrio?



 




Teorema de la probabilidad total

6 Tenemos tres urnas una con 2 bolas azules y 3 verdes, otra con 2 azules 2 verdes y  una roja y la última 1 bola azul, 1 verde y 3 Rojas. Elegimos una urna y después sacamos una bola ¿Probabilidad de sea azul?




 
 
 



 



7     Tenemos tres urnas con la siguiente composición:

Urna A: 10 bolas rojas y 15 negras.

Urna B: 20 rojas y 10 negras.

Urna C: 4 rojas y 11 negras.

Lanzamos un dado y si sale un 1 tomamos una bola de la urna A, si sale un 2 o un tres tomamos una bola de la urna B y si sale 4, 5 o 6 de la urna C. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja.?



   condicional



Los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos:















Más general:

 

 

 

 
total









 


Fórmula de Bayes


En el caso anterior, hemos sacado una bola sabemos que es roja pero no sabemos de que urna proviene.

¿Cuál es la probabilidad de sea de la tercera.?

 

 

 

 




 

 

 

 

 




 

 

Cuando la realización de un suceso B depende de varias causas o sucesos previos,




 

es posible, en ciertas condiciones, definir la probabilidad a posteriori de que el suceso B una vez producido sea consecuencia de la causa Ai .

 

 

Los sucesos:



 

deben formar un sistema completo de sucesos para ellos deben ser mutuamente incompatibles y la probabilidad de la unión de todos debe ser uno.


 




Consideremos un sistema completo limitado a tres sucesos:





 

Sea N los casos totales y n1, n2, n3 los casos favorables para los tres sucesos, de forma que:


 




 

Además: