Áreas de polígonos.

 

El área de un polígono es la medida de la superficie comprendida dentro del perímetro del polígono.El área se expresa en relación a otras que se toma como unidad que será un cuadrado de lado la unidad de longitud.

 

Área del cuadrado

 Cuadrado es el polígono regular de cuatro lados.

 



Área del rectángulo


El rectángulo es un polígono irregular de cuatro ángulos rectos y lados iguales y paralelos dos a dos. 

  Rombo





Polígono irregular de cuatro lados iguales y ángulos opuestos iguales.   
 

Como se puede ver en el dibujo la superficie del rombo ABCD es la mitad del rectángulo PQRS

 

que tiene por lados las diagonales del rombo d  y D





 

Paralelogramo

 


 


 

La superficie del romboide es igual a la longitud de la base por la altura

Trapecio

 


 

Poniendo uno junto a otro la superficie es la mitad del rectángulo con base la suma de las dos bases del trapecio.

 

 

Triángulo

 

 


 

Área de un triángulo:




La superficie es la mitad del paralelogramo con la misma base y la misma altura.


También:

Fórmula de Herón  


 p es la mitad del perímetro.

  
 

Polígono regular:

 

 

 

El polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales.




 

Áreas y lados de polígonos regulares.

 

Centro es el centro común de los círculos circunscrito e inscrito.

Radio de un polígono regular es el radio del círculo circunscritos

Apotema es el radio del circulo inscrito


 

 

Medidas circulares. La circunferencia y el círculo.


Longitud de la circunferencia:

 



 

Superficie del círculo:



 

Longitud del arco de circunferencia:





 
















 

Superficie del sector circular:






 



Superficie de la corona circular:

 

 



 

 


 


 

Sólidos

Cuerpos geométricos

 

Cuando un cuerpo está limitado por superficies planas están se llaman caras, y su líneas de intersección se llaman aristas.

 

El prisma y el cilindro

Prisma 

Sólido cuyas extremidades son polígonos iguales y paralelos que llamamos bases y cuyas caras son paralelogramos.

 

El cubo

es un prima cuyas bases y caras son cuadrados.

 

Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos.

 

Altura es la distancia entre las bases.

 

 

Superficie total de un sólido es la suma de la superficie de todas sus caras incluidas las bases.

Superficie lateral es la superficie total menos la superficie de las bases.

 

 

Hallar el volumen de un sólido es hallar cuantas veces contiene a la unidad de volumen que es un cubo de longitud de la arista igual a la unidad.

 

El volumen de un prisma o de un cilindro es el producto de la superficie de la base por la altura.

 

La superficie lateral de un cilindro o de un prisma es el perímetro de la base por la altura.

 

 

 

 

 

La pirámide y el cono.

 

 

La pirámide es un solido cuya base es un polígono y cuyos lados son triángulos que se unen en un punto común llamado vértice.

 

El cono es un solido cuya base es un círculo y su superficie lateral tiene una inclinación uniforme que termina en un vértice.

 

La altura de la pirámide o el cono es la distancia perpendicular del vértice a la base.

 

El apotema de una pirámide regular es la altura de una de las bases.

 

 

 

La generatriz de un cono es cualquier línea del vértice a la circunferencia de la base.

 

 

La superficie lateral es la mitad del perímetro por la apotema.

 

Volumen es un tercio de la base por la altura.



Ejercicios




 

1.Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa vale 4 y 5 cm. (h=4,  n=5)






  2.En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son de 4 y 2,25 cm. Halla el valor de los lados del triángulo, de la altura y de la superficie.



 

3.La hipotenusa de triángulo mide 4,5 m y la proyección de un cateto sobre ella 0,6 m . Halla los catetos, la altura y la superficie.
 

4.En un triángulo como el de la figura conocemos b=15 m.  n= 16 m. Halla el área del triángulo.


 

 

 

5.En un triangulo rectángulo ABC las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa son 5 y 9 . Calcula:
 

a)Catetos 

b)Altura 

c)Superficie. 

d)Razón de semejanza entre los dos triángulos que divide la altura al triángulo ABC. 

e)Superficie de estos dos últimos triángulos. 

f)Razón de proporcionalidad entre las dos superficies anteriores.



 

6.¿Son semejantes los dos triángulos de la figura.?
        Halla  x e y 


 

7.Los lados de dos pentágonos regulares miden 6 y 12 cm. ¿Son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus áreas?



Aplicaciones del Teorema de Pitágoras.

 

  1) Calcula el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 m.



2) Halla la altura y superficie de un triángulo equilátero de lado 32 cm.


3) Calcula el área y ángulos de un triángulo rectángulo de hipotenusa 45 m.




 

4)   En un triángulo rectángulo un cateto es de 32 cm  la hipotenusa de 48 cm. Halla la altura, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la superficie.

 

 

5)   El perímetro de un triangulo isósceles es de 64 cm, el lado desigual  mide 14 cm. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es  80 cm.

 

 

 

6)  Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 375 cm² y 60 cm² . Si el lado desigual del triángulo más pequeño es de 8 cm. ¿Cuál es el perímetro de la segunda.?

 

 

7)    En un triángulo rectángulo la altura es de 12 cm. y la  proyección de un cateto sobre la hipotenusa es de 9 cm . Halla la superficie y lados del triángulo.

 

 

8)    De un cono de radio 5 cm hemos cortado otro de radio 2 cm y altura 3 cm . Calcula la altura del cono grande y el volumen de los dos.








9)    Halla el volumen de un tronco de pirámide de altura 15 m. y lados de las bases 14 m y 8 m.






10)   Halla la dimensión de la hipotenusa de un ortoedro de radios 10, 6 y 8 m.






11)   En dos triángulos rectángulos la relación entre los catetos homólogos es 2/5 . Si el área del mayor  es de 180 cm² ¿Cuál es el área del menor?

 

12)   Las hipotenusas de dos triángulos semejantes son 8 y 12 cm. El área de uno mide 30 cm² ¿Calcula el área del segundo?

13

¿Cuanto costará pavimentar con asfalto una calle de 8 m. de ancha por 270 m. de larga, si el asfalto cuesta 24 € 3k m²

14 

El lado de una clase mide 12 m y la superficie es de 60 m². Sabiendo que su forma es rectangular, calcula la longitud del otro lado.

15 

La base BC de un triángulo  mide 350m y la altura sobre el vértice A es de 100 m. ¿A qué distancia de B se debe situar el punto D para que la recta AD divida el triángulo en dos partes con la misma área.

16 

Las bases de un trapecio miden 9, 6 m. y 6, 4 m. La perpendicular comprendida entre ellas es de 5, 3m . ¿Cuál es el área del trapecio?

17

Divide un triángulo por una paralela a la base de modo que el triángulo mayor y el más pequeño que resulten en en razón de m/n.

18 

En el triángulo ABC el lado AB mide 540 cm. Se desea dividir este triángulo en cinco partes de la misma superficie por medio de líneas paralelas a BC ¿Cuáles son las longitudes de las líneas AD, AF, AH, AT


19

Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20 cm respectivamente,, ¿Cuál es la dimensión de  la hipotenusa?


20

Una escalera de 16, 25 m. de largo alcanza el techo de una casa, quedando el pie a una distancia de 6,25  m de la base de la pared. ¿Cuál es la altura de la casa suponiendo el suelo horizontal?


21

La distancia más corta de un punto a us segmento es 25 cm y las distancias del  mismo a los extremos del segmento son 54 cm. Y 40 cm respectivamente. Calcula la longitud del segmento?

 

22

Demuestra que la longitud de la diagonal de un cuadrado es igual al producto de su lado por raíz de dos.

El lado de un pentágono regular mide 5 m. y el apotema 3, 44 m Halla la superficie.

 

23

Calcula la longitud de una circunferencia de 5, 2 m . de radio.

 

24

Halla el diámetro de una pista circular que tiene 2 km. de longitud.

25

Una curva de una carretera corresponde a un ángulo central de 26º 15' y sus radio es de 642 m. ¿Cuál es la longitud de esa curva?

26 

El diámetro de la rueda de un vehículo es de 60 cm. Si da 200 vueltas para ir de un sitio a otro. ¿Cuál es la distancia recorrida?

27 

El radio de un arco mide  5m . y la longitud de se cuerda 5 m ¿Cuál es el área del sector correspondiente?

28 

¿Cual es el valor de un ángulo interno de un hexágono regular? ¿Y de un ángulo externo?

29 

Hallad la longitud de la línea AM cuyo extremo, cuyo extremo M es inaccesible.

 





30
 

Calculad la longitud de los catetos del triángulo ABC donde M es el pie de la perpendicular bajada por el vértice del ángulo recto a la hipotenusa.

a) Cuando: n = 12,8 cm.  m = 7,2 cm.




 




b) Para n= 14,4 cm.   y m=9,8 cm.
31
 

Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6,5 m. y 15, 6 m. Calculad la altura relativa a la hipotenusa.

 

32 

El perímetro de un triángulo rectángulo mide 36 cm. y la hipotenusa 15 cm. Hallad los catetos.

 

En un triángulo rectángulo un cateto mide 5 cm. y la altura correspondiente a la hipotenusa mide 3 cm. Calcula la longitud del otro cateto y de la hipotenusa.


33 


Calculad la longitudes de las medianas de un triángulo rectángulo  isósceles cuya hipotenusa mide

34
 

Siendo 6 m. y 8 m. los catetos de un triángulo, obtener la hipotenusa, las proyecciones de los catetos sobre ella y la altura.




35 

La esquina de una casa y un árbol tienen 12 m. y 6 m. de altura, respectivamente, y están situados a una distancia de 36m. ¿A qué distancia del árbol y en línea recta con éste y la esquina de la casa habrá que poner un comedero para que los tengan a igual distancia los pájaros que anden en las cimas del árbol y de la esquina.? ¿Cuál es la distancia del punto elegido a la cima del árbol?


 


36

La altura relativa a la hipotenusa divide a ésta en dos segmentos que miden 28 cm y 7 cm. Hallad los catetos.

 

37 

El área de un triángulo rectángulo mide 120 cm² y la hipotenusa 26 cm. Hallad los catetos.

38

La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 17 cm y su diferencia 7 cm. Calculad la altura referida a la hipotenusa.

 39

Hallad la distancia del punto inaccesible M al punto D, con los datos de la figura siguiente:





40
 


La diferencia de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es 5 cm.  y la hipotenusa mide 2,5 dm. Calcula:

 a) Los lados del triángulo

 b) El área del círculo circunscrito.

41

¿Cuál es la longitud del arco recorrido en 26 minutos por la punta de la aguja mayor de n reloj, sabiendo que la aguja mide 2,7 cm.?

42 

Las bases de un trapecio isósceles miden 22 cm y 12 cm., los lados iguales 10 cm. Hallad la superficie.

 

 

43 

 

Hallad el área de un triángulo equilátero, sabiendo que la suma de su base con su altura es 10m.

 

El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. y la altura relativa al lado desigual mide 12 m.

 Calculad los lados y el área del triángulo.


44 

En un triángulo isósceles el lado desigual mide 15 cm. y la altura relativa a uno de los lados iguales,   9 cm. Calculad el área del triángulo.


45 

Calculad las diagonales de un rombo, sabiendo que su lado mide 5 cm. y su área 24 cm².


46 

Calcular el área y el perímetro de la figura, siendo AB= 10m, ABCD un cuadrado y A M C y A N C arcos de la circunferencia de centros B y D.





47
 

Hallad el volumen de un cilindro de 54 cm² de área total siendo el radio de la base la mitad de la altura.

48 

La capacidad  de un depósito cilíndrico es de 300 Hl. Hallad su diámetro, sabiendo que la profundidad es de 7,5 m.; y determinar el peso del agua contenida en el depósito cuando ésta alcanza una altura de 1,5 m.

49 

El área total de un depósito cerrado es de 2116 π dm². Sabiendo que tiene la forma de un cilindro equilátero (altura igual al diámetro), hallad la altura del depósito.



50

El área total de un cilindro es 24  π dm². y el área total es 42  π dm². Calcular el radio y la altura de este cilindro.



51

Calculad el área lateral, el área total y el volumen de un cono de revolución cuya generatriz mide 12 cm. , sabiendo que su desarrollo es un sector circular de 120⁰ de amplitud.



52

La altura de un cono de revolución es igual al diámetro de la base, y su área total mide cm²
53

La superficie total de un cono es mide 144  π dm², y la generatriz es de 5/3 de la altura. Hallad el radio de la base del cono.

54

Con un sector circular de 216⁰ de amplitud y 25 cm. de radio se construye un embudo cónico. Halla su volumen y expresa su resultado en litros.

55

Se desea saber la capacidad de un depósito en forma de tronco de cono, cuya base inferior tiene un radio de 6 dm. Y la superficie 1, 1 m². La generatriz ha de tener 1,3 m. de longitud.

56

Calculad el área lateral total y el volumen de un tronco de cono de revolución en el que los radios de las bases  miden 3 m. y 6 m. , respectivamente, siendo igual a 4 m.




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